循环不变式:算法中基础概念的明晰
时间:2022-07-26
本文章向大家介绍循环不变式:算法中基础概念的明晰,主要内容包括其使用实例、应用技巧、基本知识点总结和需要注意事项,具有一定的参考价值,需要的朋友可以参考一下。
循环不变式
循环不变式主要用来辅助我们理解算法的正确性,对于循环不变式,必须证明它的三个性质
初始化:它在循环的第一轮迭代开始之前,应该是正确的。 保持:如果在某一次循环迭代开始之前是正确的,那么在下一次迭代开始之前,它也应该保持正确(假设当循环变量等于k时符合,再看执行一遍循环体后是否还符合循环不变式)。 结束:当循环结束时,不变式给了我们一个有用的性质,它有助于表明算法是正确的(这一步是和数学归纳法不同的一点,用循环不变式则更进一步,数学归纳法到这里就得出了一个关系式就结束,而用循环不变式,不但要先确保一个正确的关系式,还要看最后循环结束时,循环变量最后等于多少,根据循环不变式推导是否符合自己的要求。)。 编写循环时,让每次循环都成立的逻辑表达式称为循环不变式(loop invariant)。 注意:每个循环都可以找到一个循环不变式,我们可以通过这个循环不变式证明循环迭代的正确性。
案例分析
利用循环不变量证明下述计算a^n算法的正确性:
Exp(a,n)
1 i<--1
2 pow<--1
3 while i<=n do
4 pow<-pow*a
5 i<--i+1
6 return pow
初始化:循环开始之前,i=1,pow=a^(i-1)=1,等式成立,所以迭代之前循环不变式成立。
保持:假设i=k的时候循环不变式成立,此时还未执行循环语句,循环不变式成立,即a^(k-2)=1,则在循环中执行的pow=pow*a,那么pow=a^(k-1)。即在迭代过程中,循环不变式保持成立。
终止:当k=n+1时,循环终止,此时pow=a^n。所以算法终止时,得到的是一个正确的结果,返回了a的n次幂。
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