负二进制加法实现
一、背景知识
首先简单了解下什么是进制?
N进制,即表示位数可表示范围为 [0, N)(数学表示法,包括首,不包括尾),比如二进制,位数上可用数字只有0或者1,遇2进位,而我们常用的十进制,位数可用数字为0-9,遇10进位,依此类推。
接着我们简单了解下 N(N!=10)进制与十进制的相互转换。
因为我们最熟悉的数字是十进制,所以当出现其他进制时,我们想知道它表示什么数,通常会先把它转换为十进制。N进制转十进制公式如下:
N进制数:
AnAn-1...A1A0
对应十进制:
A0 * N^0 + A1 * N^1 + ... + An * N^n
而十进制转N进制:
十进制化n进制:反复除n取余数,除n的得数再取余数,直到得数为0,把余数按顺序从低位到高位写出即可,比如1234换八进制,第1次除8得154余2,154除8得19余2,19除8得2余3,2除8得0余2,所以最后得到2322
二、题意分析
而今天要做的题目有一点特殊,它是负二进制,且题目给出来的定义是可用数字为0或者1,但基数是 -2,计算举例如下:
-2进制:
1011
对应十进制:
1 * (-2)^0 + 1 * (-2)^2 + 0 * (-2)^2 + 1 ^ (-2)^3
可以看到转换公式依然可以套用,到这里题目还没有什么太多的难度,但最后题目要求输出也要是负二进制,如果我们依然换上面的相互转换方法,也可以完成,但要去理解负二进制转十进制,有点难度,这里我们采用按位计算的方法来实现,时间复杂度为 O(n),n为加数的位数。
按位计算,其实和十进制里列竖式计算是很像的,我们来看下:
其实同样道理,如果是以 -2 为基数,按位加法规律如下:
1、位数上按二进制的计算方式计算 2、如果位数相加超过2,需要进位,但进位方式是高两位均需要进1,因为以 -2 为基数,结果是一负一正的,高两位均进1,则可以抵掉一半,得到正确结果 3、如果在进位时,高位已经有为1的,可以直接将这个1变为0 4、如果相加小于2,则直接得结果即可
原理计算图如下:
三、上代码
class Solution:
def add(self, arr1, arr2):
"""
不管奇数位还是偶数位,只要相加大于2,高两位补1
其他照常
有一个需要注意点,如果有进位,且高位已经有一个为1,其实是可以抵消的
在代码实现里,只判断补位是否为1,如果为1则抵消,否则不抵消
"""
llen = len(arr2)
result = []
add_list = [0] * 1005 # 进位数字
i = llen - 1
j = 0
while True:
cur_sum = arr1[i] + arr2[i] + add_list[j] if i >= 0 else 0 + add_list[j]
if cur_sum == 0 and i < 0:
break
if cur_sum >= 2:
# 如果进位上有数字,且数字为1,直接抵消
if add_list[j + 1] == 1:
add_list[j + 1] = 0
cur_sum -= 2
result.append(cur_sum % 2)
else:
add_list[j + 1] = 1
add_list[j + 2] = 1
result.append(cur_sum % 2)
else:
result.append(cur_sum)
i -= 1
j += 1
result.reverse()
llen = len(result)
for i in range(0, llen):
if result[i] != 0:
return result[i:llen]
return [0]
def addNegabinary(self, arr1, arr2):
"""
:type arr1: List[int]
:type arr2: List[int]
:rtype: List[int]
"""
len1 = len(arr1)
len2 = len(arr2)
if len1 > len2:
arr2 = [0] * (len1 - len2) + arr2
return self.add(arr1, arr2)
else:
arr1 = [0] * (len2 - len1) + arr1
return self.add(arr1, arr2)
if __name__ == "__main__":
s = Solution()
print(s.addNegabinary([1], [1, 1]))
代码说明: 因为不好控制结果输出长度,所以这里按照题目意思,位数不超过1000,所以提前申请了一个 1005 长度的列表,用空间换便利
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