常见编程模式之合并区间

4. 合并区间（Merge Intervals）

基本原理及应用场景

合并区间模式是一种处理重叠区间的有效手段。在很多包含区间的问题中，我们可能需要去找出重叠的部分或将重叠部分合并。给定两个区间，其关联方式有如下六种：

在以下场景中，我们可能会用到合并区间：

题目涉及生成只包含互斥区间的列表
题目涉及重叠区间

经典例题

56. 合并区间（Medium）

给出一个区间的集合，请合并所有重叠的区间。

「示例」：

输入: intervals = [[1,3],[2,6],[8,10],[15,18]]
输出: [[1,6],[8,10],[15,18]]
解释: 区间 [1,3] 和 [2,6] 重叠, 将它们合并为 [1,6].

先基于左边界对区间集合进行排序，这样将区间的关联关系限定在前三种，我们只需要对下面两种重叠情况进行合并即可：

基于上述思想，代码实现如下：

class Solution:
    def merge(self, intervals: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
        if len(intervals) < 2: return intervals
        intervals.sort(key = lambda x: x[0]) # 对集合排序（按左边界）
        
        merged = []
        start = intervals[0][0]
        end = intervals[0][1]

        for i in range(1, len(intervals)):
            interval = intervals[i] # 从第二个区间开始，逐个比较
            if interval[0] <= end: # 当前区间的左边界小于上一个区间的右边界，说明有重叠
                end = max(interval[1], end) # 合并后的右边界为两个区间右边界的最大值，左边界为上一个区间的（因为已排序）
                # 合并后继续遍历，直到不重叠再添加到结果中
            else:
                merged.append([start, end]) # 不存在重叠，将上一个区间添加到结果中
                start = interval[0]
                end = interval[1]
        
        merged.append([start, end]) # 将最后一组区间添加到结果中
        return merged

986. 区间列表的交集（Medium）

给定两个由一些「闭区间」组成的列表，每个区间列表都是成对不相交的，并且已经排序。返回这两个区间列表的交集。（形式上，闭区间 [a, b]（其中 a <= b）表示实数 x 的集合，而 a <= x <= b。两个闭区间的交集是一组实数，要么为空集，要么为闭区间。例如，[1, 3] 和 [2, 4] 的交集为 [2, 3]。）

「示例」：

输入：A = [[0,2],[5,10],[13,23],[24,25]], B = [[1,5],[8,12],[15,24],[25,26]]
输出：[[1,2],[5,5],[8,10],[15,23],[24,24],[25,25]]

我们可以用两个指针分别指向 A 和 B，比较其当前指向的区间。由于 A 和 B 内部的区间均已排序且不相交，所以对于存在重叠的两个区间，较小的末端点只可能与一个区间相交，否则会在列表内部出现两个相交的区间，与题意不符。所以我们只需要按顺序比较区间，存在重叠则合并区间，并移动末端点较小的区间所在列表的指针即可。基于上述思想，可以写出如下代码：

class Solution:
    def intervalIntersection(self, A: List[List[int]], B: List[List[int]]) -> List[List[int]]:
        ans = []
        i, j = 0, 0

        while i < len(A) and j < len(B):
            lo = max(A[i][0], B[j][0])
            hi = min(A[i][1], B[j][1])
            if lo <= hi: # 存在重叠
                ans.append([lo, hi])
            
            # 移动较小末端点所在列表的指针，可能存在同时移动的情况
            if hi == A[i][1]:
                i += 1
            if hi == B[j][1]:
                j += 1
        
        return ans

57. 插入区间（Hard）

给出一个无重叠的，按照区间起始端点排序的区间列表。在列表中插入一个新的区间，你需要确保列表中的区间仍然有序且不重叠（如果有必要的话，可以合并区间）。

「示例」：

输入：intervals = [[1,2],[3,5],[6,7],[8,10],[12,16]], newInterval = [4,8]
输出：[[1,2],[3,10],[12,16]]
解释：这是因为新的区间 [4,8] 与 [3,5],[6,7],[8,10] 重叠。

这道题的一种简单做法是参考 56 题，先把新的区间添加到列表中，然后执行 56 题的代码即可。不过由于本题中给定的是无重叠已排序区间列表，所以再次进行排序是没有必要的，可以仅遍历一次合并即可，具体算法如下：

将 newInterval 之前开始的区间添加到输出
添加 newInterval 到输出，若 newInterval 与输出中的最后一个区间重合则合并他们
一个个添加区间到输出，若有重叠部分则合并他们

对应的代码实现如下：

class Solution:
    def insert(self, intervals: List[List[int]], newInterval: List[int]) -> List[List[int]]:
        new_start, new_end = newInterval
        idx, n = 0, len(intervals)
        output = []

        # 将所有新区间之前的区间添加到结果中
        while idx < n and new_start > intervals[idx][0]:
            output.append(intervals[idx])
            idx += 1
        
        # 如果输出为空或最后一个区间和新区间不重合
        if not output or output[-1][1] < new_start:
            output.append(newInterval)
        # 如果存在重合，则进行合并
        else: 
            output[-1][1] = max(output[-1][1], new_end)
        
        # 添加之后的区间，存在重合则合并
        while idx < n:
            interval = intervals[idx]
            start, end = interval
            idx += 1
            if output[-1][1] < start:
                output.append(interval)
            else:
                output[-1][1] = max(output[-1][1], end)
        return output