通路和回路

给定图G<V,E>中结点和边相继交错出现的序列,其中V表示图中结点集合,E表示图中边的集合
1. 若中边的两个端点是和 (==G是有向图时要求与分别是的起始点和终点==),i=1,2,3,...k,则称为结点到结点的 通路(entry) . 和分别称为此通路的 始点和终点 , 统称为通路的端点 . 通路中边的数目k称为此通路的 长度(length) .当时，此通路称为 回路(circuit)
2. 若通路中的所有 边(edges) 互不相同，则称此通路为 简单通路(simple entry) 或一条 迹(trail) ;若回路中的所有边互不相同，则称此回路为 简单回路(simple circuit,simple cycle) 或一条闭迹
3. 若通路中所有 结点(vertices) 互不相同，则称此通路为 基本通路(basic entry) 或 初级通路、路径(path) ,若回路中除外的所有结点互不相同(从而所有边互不相同)，则称此回路为 基本回路(basic circuit) 或者 初级回路、圈
说明
1. 回路是通路的特殊情况 因而如果说某条通路，则它可能是回路，但当说一基本通路时,一般指其不是基本回路的情况。
2. 基本通路一定是简单通路 , 基本回路一定是简单回路 , 但是反之不然 , 因为没有重复的结点肯定没有重复的边,但没有重复的边不能保证一定没有重复的结点。

可达(accessible)和距离(distance)

在图G=<V,E>中,
1. 如果从到存在通路,则称到是 可达的(accessible) ,否则称到不可达。规定：任何结点到自己都是可达的。
2. 如果到可达，则称长度最短的通路为从到的 短线程(geodesic) ,从到的短线程的长度称为到的 距离(distance) ,记为 .如果到不可达，则通常记为
==对于无向图，若到可达,则到一定可达;也有==
==对于有向图，若到可达,不一定有到一定可达;也不一定有==
在一个具有n个结点的图中,如果从结点到结点 , 存在一条通路则从结点到结点存在一条长度不大于n-1的基本通路。
在一个具有n个结点的图中,如果存在经过结点的回路，则存在一条经过结点的长度不大于n的基本回路。

设G=<V,E>是一个有向图，
1. 略去G中所有有向边得无向图G',如果无向图G'是连通图，则称有向图G是连通图或弱连通图(weakly connected graph); 否则称G是非连通图.
2. 若G中任何一对结点之间至少有一个结点到另一个结点是可达的，则称G是单向连通图(unilaterally connected graph)
3. 若G中任何一对结点之间都是互相可达的，则称G是强连通图(strongly connected graph)
有向图G是强连通图的充分必要条件是G中存在一条经过所有结点的回路
有向图G是单向连通图的充分必要条件是G中存在一条经过所有结点的通路

设G是无孤立结点的图，若存在一条通路，经过图中每边一次且仅一次，则称此通路为该图的欧拉通路(eulerian entry)
设G是无孤立结点的图，若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，则称此回路为该图的欧拉回路(eulerian circuit) ,具有欧拉回路的图称为 欧拉图(eulerian graph)
以上定义既适合无向图也适合有向图
==欧拉通路是经过图中所有边的通路中长度最短的通路，即通过图中所有边的简单通路==
==欧拉回路是经过图中所有边的回路中长度最短的回路，即为通过图中所有边的简单回路==

无向图 G=<V,E>具有一条 欧拉通路 ，当且仅当G是 连通的，且仅有零个或两个奇度数结点
无向图 G=<V,E>具有一条 欧拉回路 ，当且仅当G是 连通的，并且 所有结点的度数均为偶数
有向图 G 具有一条 欧拉通路 ，当且仅当G是连通的，且除了两个结点以外，其余结点的入度等于出度，而这两个例外的结点中，一个节点的入度比出度大1，另一个结点的出度比入度大1.
有向图 G 具有一条 欧拉回路，当且仅当G是连通的，且所有结点的入度等于出度。