甜品店切蛋糕问题（动态规划，Go语言实现）

问题重现：小Y最近在甜品店工作,其工作是切蛋糕。现在有n个顾客来购买蛋糕，并且每个顾客有一个到达的时间，以及需要买的蛋糕的长度ai。由于小Y每次只能服务一个顾客，【问题严谨性补充：而顾客如果进店没有服务员立刻为他服务，他将离开】所以对于相冲突的顾客没有办法提供服务。问小Y最多能为多少位顾客提供服务。小Y能够决定是否卖蛋糕给某个顾客。如果答应顾客要买长度为ai的切糕，那么小Y还要将蛋糕切成单位长度给顾客。如果对ai的蛋糕切成x和ai-x，所花的时间代价为x*(ai-x)。例如，当一个用户在1时刻，需要长度为4的蛋糕，此时小Y可以将其先切成2分长度为2的，花费为4，再将两段长度为2的分别切成1,1的，花费分别为1和1，则总花费时间为4+1+1 = 6，则小Y为该用户服务时间为6.

已知第i位顾客进店时间，以及购买蛋糕大小。【作者特别说明：在原题上稍有修改，本文重在讲清思想】

分析:（转载请注明出处和作者名）涉及问题一：大小为n的蛋糕需要多长时间切成单位长度？

f(x)=x*(n-x) 绘制函数草图可以得到：x=1时得到最小值，也就是说每次1单位1单位的切

用数学归纳法证明上述的解得到的最终和解也是最小的 n=2时 f(x)显然得到的最小解 n=3时 f(x)显然得到的最小解 n=4时 f(x)显然得到的最小解 ... 假设n=i-1时也能得到最小解 n=i时切成x 和(i-x) 显然x必然是前面已经推出的n的一个解，i-x也是前面推出的一个解，而f(x)的最优解和f(i-x)就是每次1单位1单位的切这时只要保证x*(i-x)值最小即可，最小情况x=1，也就证明了每次1单位1单位的切的解得到的最终和解也是最小的。

涉及问题二：已知各位顾客的进店时间和购买蛋糕大小，如何选出最佳服务对象？

这个问题至少可以使用贪心策略来解决，似乎包含了动态规划，看起来很像01背包问题

动态规划： f[t]表示t时间内在前i个人已服务完的服务对象人数 s表示第i个人需要的服务时长 r表示第i个人达到时间点

㈠对于是否选择服务第i个人有两种情形 ①选择，但要满足完成第i人的服务后时间不超过t （如果选择了第i个人，可能就存在不允许选前i-1个人中的某些人） f[t]=f[i-1][r]+1 【t>=r+s】 ②不选，不改变在t时间的策略 （之所以不选的原因，就是因为第i个人到时，小Y还没有为前面的人服务完，又或者如果选了第i人会耽误后面更多的人） f[t]=f[i-1][t] ㈡决策退出条件（决策既知条件） 时间没有负数,所以无需判断 i==0 返回1或0 解释：因为i==0即最后一个人，如果满足条件t >= r[0]+s[0],返回1 ㈢决策入口条件 t=max{s+r}

于是可以得出： 状态转移方程为：f[t]=max{ f[i-1][t-s] (t>=r+s), f[i-1][t]}

以下给出Go语言实现代码：

package main



import (

        "fmt"

)



/*求最小服务时长，每次1单位1单位的切，得到的是最小解*/

func smin(n int32) int32 {

        if n&1 == 0 {

                return (n / 2) * (n - 1)

        }

        return (n - 1) / 2 * n

}



/*求每个顾客的时间*/

func serverTime(s, lenght []int32, maxLen int32) {

        for i := range lenght {

                s[i] = smin(lenght[i])

        }

}



/*求二者最大值*/

func maxInt32(a, b int32) int32 {

        if a > b {

                return a

        }

        return b

}



/*DP问题核心  作者：天之  CSDN博客：http://blog.csdn.net/WAPWO?viewmode=contents*/

func dptz(i, t int32, r, s []int32) int32 {

        if i == 0 {

                if t >= r[0]+s[0] {

                        return 1

                }

                return 0

        }

        if t >= r[i]+s[i] {

                return maxInt32(dptz(i-1, r[i], r, s)+1, dptz(i-1, t, r, s))

        }

        return dptz(i-1, t, r, s)

}



/*求最后结束时间*/

func endTime(r, s []int32) int32 {

        var max, tmp int32 = 0, 0

        for i := range r {

                tmp = r[i] + s[i]

                if max < tmp {

                        max = tmp

                }

        }

        return max

}



func main() {

        //蛋糕长度、先来后到的时间和服务时间

        length := []int32{2, 2, 3, 4}

        r := []int32{5, 5, 6, 10}

        s := make([]int32, 4)

        serverTime(s, length, 4)

        fmt.Println(dptz(3, endTime(r, s), r, s))

}