洛谷P2522 [HAOI2011]Problem b(莫比乌斯反演)
时间:2022-05-07
本文章向大家介绍洛谷P2522 [HAOI2011]Problem b(莫比乌斯反演),主要内容包括题目描述、输入输出格式、输入输出样例、说明、基本概念、基础应用、原理机制和需要注意的事项等,并结合实例形式分析了其使用技巧,希望通过本文能帮助到大家理解应用这部分内容。
题目描述
对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数。
输入输出格式
输入格式:
第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a、b、c、d、k
输出格式:
共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数
输入输出样例
输入样例#1
2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2
输出样例#1:
14
3
说明
100%的数据满足:1≤n≤50000,1≤a≤b≤50000,1≤c≤d≤50000,1≤k≤50000
莫比乌斯反演
首先你要会求sum ^{n}_{i=1}sum ^{m}_{i=1}left[ gcd left( i,jright) = 1right]
然后不难发现这题可以容斥处理
假设work(i,j)=sum ^{n}_{i=1}sum ^{m}_{i=1}left[ gcd left( i,jright) = 1right]
那么ans=work(b,d)-work(a-1,d)-work(c-1,b)+work(a-1,c-1)
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=1e6+10;
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
int N,a,b,c,d,k,ans;
int vis[MAXN],prime[MAXN],mu[MAXN],tot=0;
void GetMu()
{
vis[1]=1;mu[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++)
{
if(!vis[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=N;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) {mu[i*prime[j]]=0;break;}
else mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=N;i++)
mu[i]+=mu[i-1];
}
int work(int n,int m)
{
int limit=min(n/k,m/k),ans=0;
for(int i=1,nxt;i<=limit;i=nxt+1)
{
nxt=min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(mu[nxt]-mu[i-1])*(n/(k*i))*(m/(k*i));
}
return ans;
}
main()
{
N=1e5;
GetMu();
int QWQ=read();
while(QWQ--)
{
a=read(),b=read(),c=read(),d=read(),k=read();
ans=work(b,d)-work(a-1,d)-work(c-1,b)+work(a-1,c-1);
printf("%dn",ans);
}
return 0;
}
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